La pyramide

Le Parthénon

L'amour vache

Le Modulor

de Kheops

d'Athènes

Géricault

Le Corbusier

 

 

                                                              LE NOMBRE D'OR, Ö

                                       La divine proportion

 

 

 

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 Propriétés du nombre d'or :

 

Le nombre d'or appelé également divine proportion, a eu de nombreuses applications en sculpture, en peinture et en architecture . La pyramide de Kheops, l'acropole d'Athènes et en particulier le Parthénon, le  tableau de Botticelli *La naissance de Vénus*, et plusieurs autres œuvres de la renaissance, ont été conçus d'après ce nombre aux propriétés magiques ; à remarquer que c'est le seul nombre que lorsque on lui soustrait l'unité devient son propre inverse.

 

j - 1 = 1/j

 

1/j = 0,618 033 99...

 

 

j = 1,618 033 99...

et aussi

 

j ² = 2,618 033 99...

 

.           

 Valeur

 

Quelques autres propriétés connus :

• Lien avec la spirale logarithmique,

• Lien avec le triangle de Pascal,

• Développements de la partie décimale des puissances de f,

• Construction du dodécaèdre régulier et de son dual l'icosaèdre régulier

• Lien avec pi d'après la formule ci- dessous  etc.…


 

Il s'agit donc d'un nombre irrationnel qui est la solution de l'équation

du 2e degré :

0 1 = - x - x²

donnant 2 racines : 2 1 / ) ± 5 ( = 1, 618 033 988 749. . . et

- 0, 618 033 988 749 . . .

la valeur positive étant habituellement désignée par l'expression nombre d'or

ou section dorée ou divine proportion est représentée par les lettres

t = f = F

•Puissances du nombre d'or



Les puissances du nombre d'or s'expriment en fonction de Ö et de 1 et les coefficients ne sont autres que les nombres de Fibonacci.

Pour obtenir une puissance du nombre d'or, il suffit de connaître les deux puissances précédentes et de les additionner, ce qui est exactement le procédé de construction de la suite de Fibonacci !


Ö et Fibonacci en formule:

j n = j n-1 + j n-2 = a j + b

ou a et b sont des suites de Fibonacci.

 

 

• La géométrie du nombre d'or est basée sur le pentagone régulier, comme le montre

 le schéma.





En effet, le rapport entre le côté du pentagone régulier convexe et celui du

pentagone étoilé correspondant est égal à :

1, 618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 7

ou à 0, 618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 7

Le nombre d'or peut également se représenter à l'aide d'une infinité de

radicaux

de x 1 x² - =

on tire x 1 x + =

ce qui donne ... + + + + = 1 1 1 1 x

 

 

Triangles d'or



 Un triangle d'or est un triangle isocèle dont les longueurs des cotés sont dans le rapport du nombre d'or.

Les deux triangles d'or possibles




Leurs angles mesurent 36 ° et 72°.



Les triangles d'or dans le pentagone régulier



Dans le pentagone régulier ci-contre, le triangle ABC et le triangle ACD sont tous deux des triangles isocèles dont les longueurs des cotés sont dans le rapport du nombre d'or : ce sont deux triangles d'or.

 

 

Rectangle d'or


Le rectangle BCFE est obtenu en retirant le plus grand carré possible du rectangle ABCD.
ABCD et BCFE ont le même format si =

 

Si dans un rectangle ABCD, établi suivant la proportion du nombre d'or, on construit, sur le petit côté AB, un carré ABEF, on découpe un rectangle FECD semblable au premier; en poursuivant cette opération de découpage, qui peut être continuée indéfiniment, on obtient toujours un rectangle IECJ, puis GHCJ... de proportions idéales.
Inversement, en accolant un carré BKLC au grand côté BC d'un rectangle parfait ABCD, on obtient un autre rectangle parfait AKLD, et ainsi de suite.



Un bel exemple de rectangle d'or, * en GIF animation* :

Spirale d'or



La figure est construite à partir d'un grand rectangle d'or.
 

Les diagonales des rectangles se coupent au même point C qui est le point limite de la spirale.
Dans le repère (O, I, J), C(; ) ou bien aussi C (; ).

La spirale est invariante par la similitude de centre C, de rapport

 ( = Ö- 1) et d'angle  -ð / 2.


 

Impact du nombre d'or dans l'art :

 

 

La grande pyramide de Kheops :

 

C'est un excellent exemple d'application du nombre d'or. Il s'agit d'une pyramide régulière à base carrée dont les dimensions originales sont de 148,208 mètres de hauteur et 232,805 mètres de base. Voici le schéma de cette pyramide :


OS = 148,208
AA' = 232,805
Donc OA = 232,805 / 2 = 116,4025
Pour trouver SA, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle SOA.
Ainsi, on obtient : SA2 = OS2 + OA2
SA2 = 21965,611264 + 13549,54200625
SA2 = 35515,15327025
D'où, SA = 188,4546...
On a alors le rapport : SA / OA = 188,4546 / 116,5025 = 1,617601...
 

Le Parthénon d'Athènes.

 

 Il fait apparaître un peu partout le nombre d'or . Il s'inscrit dans un rectangle doré, c'est-à-dire tel que le rapport de la longueur à la hauteur était égal au nombre d'or.
Sur la figure : DC/DE =Ö.
 

Sur la toiture du temple, GF/GI = Ö 

et dit  rectangle Parthénon. C'est dimensions là, ont été respectées à la lettre sur la maquette de l'Acropole d'Athènes faite par mon père que vous pouvez admirer à la galerie photos de ce site.

 

Le théâtre d'Epidaure.        

Dans le théâtre d'Epidaure, construit en Grèce à la fin du IVème siècle avant JC, on a réparti les gradins en deux blocs. Il y a 55 gradins répartis en 34 et 21, je ferai remarquer que ce théâtre antique possède entre autre, la meilleure acoustique au monde.
 Mais pour en revenir au nombre d'or, on a ici trois nombres successifs de la suite de Fibonacci et les rapports 34/21 et (34+21)/34.
 Le nombre d'or étant lié à la suite de Fibonacci on a donc :

Fn+l = Fn + Fn-1, soit 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 …

Chaque terme de la suite est égal à la somme des deux précédents et le rapport

entre deux termes consécutifs tend vers Ö

 

 

 

Le Modulor:

 

Il s'agit d'une application du nombre d'or sur un ensemble moderne réalisé par l'architecte Le Corbusier. Il est intéressant de remarquer que le segment qui coupe le nombril (cicatrice laissé par la trace du cordon ombilical) est égal au nombre d'or, puisque chez l'homme le rapport de la hauteur totale du corps par rapport à la hauteur du nombril tend vers F. On peut encore remarquer également que le rapport de la longueur de la première phalange à la deuxième, de la deuxième à la troisième est égal au nombre d'or.

 


 

 La naissance de Vénus de Botticelli.



Finalement soulignons qu'un artiste voulant utiliser la section d'or dans ses tableaux doit y rattacher clairement les élélments majeurs de ses compositions. Cela signifie que la section d'or permettra à l'artiste de mettre en valeur les éléments importants de son oeuvre, comme on peut le voir sur l'oeuvre de Raphael "La vierge et l'enfant".

 

C'est exactement ce que j'ai voulu faire avec un de mes tableaux "La mère et l'enfant". Je vous dis tout desuite que pour moi la peinture tout comme la sculpture sont des hobbies, mais en voyant les oeuvres de mon père vous comprendrez mon attrait pour l'art.

 

Poèsie et nombre d'or :

Comme tout forme artistique la poèsie ne saurait y échapper, aussi je vous invite avant de conclure à lire  quatre  poèmes basés sur ce nombre aux propriétés divines écrits par un ami poète: Cliquez ici!

 

Enfin si je devais donner une définition sur le nombre d'or, je dirai tout simplement que c'est la clef mathématique de l'harmonie de notre monde tout comme PI est la clef de toute forme ronde.

 


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