•Après le chapitre consacré à l'histoire du zéro, un article sur les bases de numération s'imposait.

Dans la vie courante, nous utilisons le système décimal pour faire nos calculs. L'idée de ce système réside sur le fait que nous possédons dix doigts. Il s'agit d'un  système positionnel, c'est-à-dire que l'endroit où se trouve le symbole définit sa valeur (unités, dizaines, centaines etc.), mais comme nous allons le voir, il existe d'autres bases de numération qui ont aussi leur champ d'application, comme par exemple : le système binaire (base 2) qui s'appuie sur une logique Boolienne qui est à la base de l'électronique numérique ;

on utilise aussi le  système hexadécimal (base 16) du fait de sa simplicité d'utilisation et de représentation pour les mots machines (il est bien plus simple d'utilisation que le binaire).

•Par définition la numération permet de représenter un nombre par la juxtaposition ordonné de symboles pris parmi un ensemble.

Les systèmes de numération les plus courants sont :

o        Le système décimal : il comprend 10 symboles appelés chiffres : {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

o        Le système binaire : il comprend 2 symboles appelés BIT (Binary digIT) et 8 BIT égale 1 OCTET : 0 et 1

o        Le système octal : il utilise 8 symboles qui sont les chiffres de 0 à 7

o        Le système duodécimal : il utilise 12 symboles : les chiffres de 0 à 9 et les lettres á,â

o        Le système hexadécimal : il utilise 16 symboles: les chiffres de 0 à 9 et les lettres á,â,ã,ä,å,æ

         Tableau représentant les différentes bases :

•le nombre de symboles utilisés est appelé Base

Lorsqu'un nombre est écrit, la position respective des symboles détermine le poids. Le système décimal, appelé aussi système à base 10, est dit à poids positionnels : c'est à dire que la valeur d'un chiffre dépend de sa position, appelée rang, dans le nombre : …, centaines, dizaines, unités, dixièmes, centièmes

Exemple :

635,59 = 6 .100 + 3 .10 + 5 .1 + 5 . 0,1 + 9 .0,01

635,59 = 6 .10² + 3 .10¹ + 5 .10⁰ + 5 .10^-1 + 9 .10^-2

•6 représente le chiffre de poids fort,

•9 est le chiffre de poids faible

•Les poids des rangs sont des puissances de 10

On généralise l'écriture d'un nombre N de la façon suivante :

Soit la Base B possédant B symboles a_i alors un nombre N s'écrit en juxtaposant les symboles :

N = (a_n-1 a_n-2 … a₀)_B où les a_i représentent les symboles de la base B,

0 a_i x B 1

Ce nombre N a pour valeur décimale :

N = a_n-1.B^n-1 + a_n-2.B^n-2 + …+ a₁.B¹ + a₀.B⁰

avec 0 NBⁿ-1

-         Cette forme est appelée forme polynomiale.
- L'élément a_i est le symbole de rang i et son poids est Bⁱ.
- a_n-1 est le symbole le plus significatif (de poids le plus fort)
- a₀ est le symbole le moins significatif (de poids le plus faible.

Conversion décimal – binaire :

Convertissons 01001101 à l'aide du schéma ci-dessous

Le nombre en base 10 est 2⁶ + 2³ + 2² + 2⁰ = 64 + 8 + 4 + 1 = 77.

Allons maintenant dans l'autre sens et écrivons 77 en base 2. Il s'agit de faire une suite de divisions euclidiennes par 2. Pour lire le résultat on part du dernier quotient et on lit les restes dans le sens de la flèche. Le schéma explique bien la méthode:

77 s'écrit donc en base 2: 1001101.

Conversion Hexadécimal - Binaire :

Pour convertir 1001101 en hexadécimal. Il suffit de regrouper les bits par quatre en partant de la gauche.

1001101 s'écrit donc 4ä en hexadécimal.

Intérêt du système binaire :

Quand on frappe la lettre *a* sur un clavier de machine à écrire ordinaire, on entend le bruit du marteau ou est inscrit le caractère *a* on actionne en fait un levier.

Quand on frappe la même lettre sur un clavier d'ordinateur on fait surgir huit impulsions électriques, réparties en deux catégories, des faibles et des fortes qui correspondent par convention à des 0 et 1. Le code pour la lettre *a* est 01000001.

A l'intérieur de l'ordinateur, la série 01000001 déclenche des signaux lumineux qui deviennent un *a* sur l'écran. Le code pour *b* est 01100010 pour *c* 01100011, pour2, 00110010, pour 3, 00110011, etc. Toute information destinée à l'unité centrale de l'ordinateur est ramenée à des séries de 0 et de 1(BIT),

  Ne serait-ce qu'à cause de l'usage qu'on en fait dans les ordinateurs, le système binaire apparaît désormais comme une découverte majeure. Or on l'utilise aussi de plus en plus dans les communications en général et notamment dans l'enregistrement des oeuvres musicales. Quand nous faisons tourner un disque compact par exemple, les sons qui parviennent à nos oreilles ont subi des transformations semblables à celle de la lettre *a* entre le moment où je frappe la touche *a* sur le clavier et celui où la lettre *a* apparaît sur l'écran.

Ce tableau, établi par Leibniz lui-même, montre l'ordre que le système binaire rend manifeste                                  

                  Un exemple plus récent avec le bi-binaire

Boby LAPOINTE, chanteur, acteur et humoriste replonge, en 1968,  (quelques temps plus tôt il avait eu un bac Math Elem. , term S) dans les mathématiques et met au point le système bi-binaire, qui lui vaudra un succès d'estime auprès de la communauté scientifique en 1971.

A cette époque, le binaire était utilisé  ainsi que l'hexadécimal Considérons les quinze premiers nombres naturels (de 0 à 15) écrits en base deux et complétés par des zéros à gauche. Cela donne le tableau suivant pour ces nombres :

Boby LAPOINTE remarqua que tous les nombres pouvaient être découpés en tranches, chacune des tranches pouvant être 00, 01, 10 ou 11.

Pour les groupes de droite, il choisit des voyelles : 00 = o ; 01 = a ; 10 = e ; 11 = i

Pour les groupes de gauche, il fit le choix de consonnes : 00 = H ; 01 = B ; 10 = K ; 11 = D

Donc compter de 0 à 15 donne cette « comptine » :

Ho, Ha, He, Hi, Bo, Ba, Be, Bi, Ko, Ka, Ke, Ki, Do, Da, De, Di

Pour écrire un nombre, il suffit de combiner ces phonèmes :

          17 = 1 . 16 + 1 : HaHa            1997 = 7 . 16² + 12 . 16 + 13 : BiDoDa

Système duodécimal (base 12)

Le système duodécimal parait plus avantageux que le décimal car il a plus de diviseur que 10

Ici le á, est le pictogramme de 10 et â celui de 11

       Soit  7áâ0 → conversion en base de 10

     (7.12³) + (á .12²) + (â .12) + 0 = 13668

      7áâ0 = 13668  vérification

Même principe que pour la division de conversion en binaire ; on part du dernier quotient et on lit les restes de gauche à droite ; on pratique de la même manière pour tous les calculs de base.

Système hexadécimal (base 16) :

En informatique, les données sont également codées en hexadécimal utilisant les 10 chiffres habituels auxquels on ajoute les 6 lettres : á, â, ã, ä, å, æ : Donc 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, á =10, â =11, ã = 12, ä = 13, å = 14, æ = 15. La base utilisée est donc 16 : la méthode est donc similaire au décimal en remplaçant 10 par 16.

    Exemple : æáã = æ . 16² + á . 16¹ + ã .16⁰ = 15 . 16² + 10 . 16¹ + 12 . 16⁰ = 4012

Voici pourquoi l'hexadécimal a été choisi : un processeur n'utilise pas seulement que des 0 et des 1 ( binaire ). car c'est lourd à traduire : 1000 en hexadécimal → 1000000000000 en binaire.

donc on choisi une écriture plus condensée : il s'agit de grouper les quartets ( donc des blocs de 4 symboles consécutifs ) du code binaire 4 par 4.

            Exemple : le décimal 125 est en fait codé en mémoire par l'octet 01111101

Séparons-le en 2 quartets : 0111 – 1101. Chaque quartet binaire représente un nombre décimal : 7 – 13 (voir tableau Bi-binaire), ce qui donne 7D en hexadécimal

Application pratique 1 : la couleur « vert d'eau » sur un moniteur est codée en hexadécimal 82DAB7
soit 8-2-13-10-11-7 ( tableau Bi-binaire) c'est à dire 1000-0010-1101-1010-1011-0111

donc en binaire 100000101101101010110111 en mémoire, ce qui correspond au décimal 8 575 671

Système vicésimal (base 20) :

§       20 est la base de numération de tous les peuples Celtes.

  Comme celle des Mayas et des Aztèques.

Système sexagésimal (base 60) :

Encore utilisé pour mesurer le temps et les angles.

7h 15mn 8s = 7 . 60² + 15 . 60 + 8 = 26 108 s

Élaboré par les Babyloniens.

Comment trouver la base d'un système de numération !

 exemple : le nombre 8 453 s'écrit 20 405, trouvez la base ?

Calcul de la base a, pour que 20 405 = 8 453

On doit avoir : 2a4+ 4a² + 5 = 8 453

c'est à dire 2a4 + 4a² - 8 453 = 0   pour résoudre cette équation bicarrée, posons  a² = X d'où 2X² + 4X – 8 448 =

soit  X² + 2X – 4224 = 0

Les racines sont :

    X = -1 ± 65. Seule convient la racine positive X = 64

qui donne  a = 8

J'espère avoir donné un bon aperçu sur l'utilité des bases numériques, évidement on saurait être exhaustif sur un tel sujet, tant le champ d'application est vaste, mais si vous avez des questions à me poser vous pouvez m'écrire et je ferai de mon mieux pour vous répondre.